自我檢討-讀書方法

是時候來個自我檢討了

1. 10-24-7法則：上課完10分鐘內複習一次，24小時內再複習一次，7天內再複習一次
2. 讀數學重在自己實際走一遍，包括自己教自己、教別人、寫習題、遮住定理的證明自己證一次

這幾天和一些人討論讀書方式，回想了一下自己大一和大二的讀書方式，跟現在比起來是差到不行(當然成績也沒有比現在好)
微積分、高微、代數：上課抄筆記，下課就不理它，直到要交作業的前一刻才開始寫作業
線代：上課抄筆記，下課就不理它，反正老師也沒出作業就乾脆不寫作業，直到演習課小考前才複習上課筆記
機率統計：蛤?
離散：上課抄筆記，下課就不理它，反正老師也沒出作業就乾脆不寫作業，連小考都沒有，那就期考前再讀吧

現在的讀書方式比以前認真很多
微方、複變：上課抄筆記，下課等老師出作業，雖然老師沒有說要交，但是作業一指派就盡快完成
數值：上課抄筆記，下課暫時不理他，但不像以前等到deadline前一刻才交作業，平時有空就在寫了

看來我們不能挑戰自己的長期記憶啊
學數學不僅重觀念，也重實際操作，也就是說寫習題是必要的
可是如果上課完隔很久再寫習題，東西差不多忘光了，這時候還要翻筆記什麼的才有辦法寫習題，反而浪費了許多時間
不如上課完就立刻(沒辦法立刻的話，頂多3天內)動手練習，趁還很有印象的時候就操作一遍的話，不僅習題很快就可以解決，也可以加深印象，就算過一週，忘記的程度也不會比沒寫習題多
我想這也就是為什麼第一次複變期中考我不需要花太多時間準備就能考得滿意的原因

另外，雖然蔡東和平時上課屁話滿多的，但是有時候也會講些很有道理的話
他說學數學最好的方法就是教別人或教自己
在教的過程中，我們就可以檢視自己到底理解了多少
沈老師也曾告訴我們，把課本講義筆記蓋起來，自己講一遍老師教了什麼東西，然後再翻開來看看自己講的跟筆記差多少
他說他以前甚至讀書時先把定理的證明遮住，自己證一遍，證不出來再看書上的證明，這樣有時候還會發現自己的證明比書上的漂亮

不過這些讀書方法可能是建立在我這學期跟上學期都這麼閒的情況下才有效，不曉得對其他時間不夠的人是否管用...

Cauchy-Euler operator的n次方之係數

Definition: A Cauchy-Euler operator is a differential operator of the form\[
p(x)\frac{d}{dx},
\]
where $p(x)$ is a polynomial.
Proposition: Let\[\left(x\frac{d}{dx}\right)^m=a_{m,1}x\frac{d}{dx}+a_{m,2}x^2\frac{d^2}{dx^2}+\cdots+a_{m,m-1}x^{m-1}\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}+a_{m,m}x^m\frac{d^m}{dx^m},~m=1,\ldots,n\]
Then we have the recurrence relation:
\begin{cases}
a_{m,1}=1,~a_{m,m}=1, & m=1,\ldots,n\\
a_{m,k}=ka_{m-1,k}+a_{m-1,k-1}, & k=2,\ldots,m-1
\end{cases}

數學少女-經典語錄

最近看完了數學少女這本書，實在非常佩服一個本業非數學的人可以把數學書寫得這麼好，而且文筆也是一絕，看了這本書真的會讓人更被數學吸引。
我很喜歡某些段落，這也是為什麼我大推這本書的原因。

我喜歡數學，是因為比起記憶的東西，我更喜歡思考，數學並不是要喚起陳舊的記憶，而是要拓展新的發現，記憶性的東西就只能死記，像是人名、地名、單字、元素表，沒有第二種方法，但是數學不同，只要給予問題的條件，就會像將材料和道具準備好放在桌上，勝負的關鍵不是記憶，而是思考。(僕，p7)

想想看，在算式背後都有一段歷史，當我們在讀算式的時候，就像是和無數的數學家格鬥，會花時間理解是一定的，當我們展開一道算式，就是超越了幾百年的時光；在有們面對算式時，我們都是個小小的數學家。(僕，p37)

因為我也一樣，我的話就會先往數理方面的書櫃走，無論是到哪間書店都一樣，假如是常去的書店，我連擺放的位置都會記起來，只要看一下書架就知道哪些是新書，就只是如此，我只是做我自己喜歡的事情，只是花時間在自己喜歡的事情上，為喜歡的事情抽出時間，我想任何人都一樣，希望更深入、更持續思考自己喜歡的事，所謂的喜歡就是這麼一回事吧。(僕，p94)

當你認真追求喜歡的事物時，就會得到分辨真偽的能力，總有一些喜歡大聲嚷嚷，或是故作聰明的學生存在，那些人想必習慣表現自我、非常重視自尊，倘若養成用自己的頭腦思考的習慣，會去了解事物的本質，就不需要那麼強調自我了，即使大聲嚷嚷也不會懂遞移公式，故作聰明也解不開方程式，無論別人怎麼認為、無論被別人說什麼，都要思考到自己能接受為止，這是我認為相當重要的事，追求喜歡的事物、追求事物的本質。(僕，p94)

一看到算式就停止思考的人非常多，在思考算式的內容之前就完全不想去碰它。當然，難的算式本來就不容易懂，但是就算完全不懂，也應該要想「到這裡為止是我知的，從這裡之後是我不知道的」。當人說出「沒辦法」的時候就會停止理解、停止思考，接著會找藉口說算數學又沒有多大用處，結果以後就一定會從「因為沒用所以不讀」變成「就算有用也讀不懂」，學數學時不能有酸葡萄心理。(僕，p193)

解問題時的心態就類似使用不等式來評值算式的大小，不一定每次都會像等式一樣馬上得到答案，而是像「從現在知道的條件來判斷，答案會比這個大，但是會比那個小……」之類的。使用自己到目前為止能使用的方法，慢慢地接近答案，並不一定會一下子全盤了解，在知道的地方先釘下楔子，再用鐵撬慢慢地移動岩石，也就是用已知的鑰匙打開未知的門。(僕，p194)

學長說了「數學是超越時間的」，歷史上有許多數學家研究過二進位，於是才有現代電腦的誕生，而「數學是超越時間的」這句片語也留在我的心裡。舉例來說，在十七世紀研究二進位的萊布尼茲並不曉得二十一世紀有電腦的事，雖然他已經去世了，但是學卻超越了時間活著，並傳達給現代的人……我從學長的話裡感受到這件事情，啊，沒錯，我真心地認為覺得數學是可以超越時間的。(蒂德菈，p259)

在地球上的任何地方以及壯大的時間之流中，數學家們不斷地尋找著各種問題的解答，在這中間，毫無斬獲地結束也是常有的事，但是這樣就要說尋找是沒有意義的嗎？當然不是，不去尋找就無法得知是否能夠找到、不實際去做怎麼得知是否能夠做到……我們是旅人，或許有疲倦的時候、或許有迷路的時候，即使如此，我們仍然會繼續旅行。(米爾迦，p284)

樂透恆等式

剛剛閒閒沒事在翻我以前寫的這篇 大樂透各獎項中獎機率分析
這篇原本是寫在無名的，後來搬到Blogger這裡來
其實我每次打開無名都會先看到這篇文章，因為這是我在無名上寫的最後一篇文章，後來就搬家了
雖然看到這篇N次了，但我一直沒有發現，這篇內容可以當巴斯卡定理的推廣啊啊啊啊啊
後來發現，其實Vandermonde's identity比較接近這定理
因為不知道有沒有人發現過這玩意，所以我暫時叫它「樂透恆等式」好了XD

$\text{Theorem: (Lottery equality) Let }n=n_1+n_2+\cdots+n_k\text{. Then}$\[
{n \choose m} = \sum_{0\leq m_i\leq n_i\atop m_1+m_2+\cdots m_k=m}{n_1 \choose m_1}{n_2 \choose m_2}\cdots{n_k \choose m_k}.
\]
##ReadMore##

取$n_1=n-1,\ n_2=1$，就是巴斯卡定理：
\begin{align*}
{n \choose m} &= {n-1 \choose m}{1 \choose 0}+{n-1 \choose m-1}{1 \choose 1}\\
&= {n-1 \choose m}+{n-1 \choose m-1}
\end{align*}

大樂透的所有組合數就是取$n_1=6,\ n_2=1,\ n_3=42$，其中$n_1=6$代表6個一般號，$n_2=1$代表1個特別號，$n_3=42$代表剩下42個不會中獎的號碼

常見的\[{2n \choose n} = \sum_{k=0}^n {n \choose k}{n \choose n-k}\]也可以用這個定理直接推論

證明我就懶得證了，反正應該是用數學歸納法之類的吧XD
不過今天和同學討論，發現一個很直觀的證明
假設現在要從$n$個人裡面挑$m$個人，那我們可以把這$n$個人拆成$k$堆，即$n=n_1+n_2+\cdots+n_k$。從$n_1,\ n_2,\ \ldots,\ n_k$這$k$堆人裡面分別挑$m_1,\ m_2,\ \ldots,\ m_k$人，可以有${n_1 \choose m_1}{n_2 \choose m_2}\cdots{n_k \choose m_k}$種挑法，其中$m_1+m_2+\cdots m_k=m$。把所有的挑法全部加起來就是等式右邊了。

一題多解

翻自己以前寫的網誌，升高一的時候利用數學歸納法證明
\[3|4^n-1 \forall n\in\mathbb{N}\]
現在所學越來越多，能用的工具也越來越多了
我發現這個命題可以推廣為
\[m-1|m^n-1 \forall n\in\mathbb{N}\]
其實證明用同餘就秒殺了
因為$m\equiv1(\text{mod }m-1)$
兩邊同時$n$次方，得$m^n\equiv1(\text{mod }m-1)$

大地遊戲分配

前幾天學姐叫我安排大地遊戲的分組
數學營有8個小隊，有5個大地遊戲要玩，每個大地遊戲由2個小隊互相對抗
假設每個遊戲花的時間都一樣是T，那麼在同一個時間內可以進行4個遊戲，而且只要5T的時間就可以把整個流程走完
不過安排上有一些規則：

1. 同一個遊戲，每小隊都要恰好玩一次
2. 同一個時間內，每小隊都要恰好玩一個遊戲(雖然是廢話，不過還是個重要的條件)
3. 對抗過的兩小隊，不要再對抗第二次

現在的問題就是該如何安排一個能夠遵守以上3個規則的流程表
學姐的安排模式是這樣的：
ABCDE表示5個不同的遊戲，T1~T5表示5個時間T，1~8表示第1~第8小隊
作表格如下

	A	B	C	D	E
T1	X	12	34	56	78
T2		X
T3			X
T4				X
T5					X

為了簡化討論，我們可以不考慮對角線
每個格子裡面放2個小隊，如以上範例
此時安排就比較能找規律了，3個規則也等價於：

1. 每個數字在每一直行恰出現一次
2. 每個數字在每一橫列恰出現一次
3. 每個格子包含的數對只能出現一次

但是問題來了，因為學姐說他不管怎麼排就是會違反第3個規則，所以叫我幫忙想
我和其他人也是不管怎麼安排，就是會因為規則限制而排不出來
這時候我當然就萌生了一個想法：該不會這個問題無解吧

要證明這題無解，我目前還沒想到方法，不過倒是想嘗試看看寫程式下去跑窮舉
於是決定用MATLAB寫底稿
因為矩陣每一格只能放一個元素，但是這個表格每一格都要放一組數對，所以我想到了一個解決辦法，那就是「質因數法」

現在我們不使用[1 2 3 4 5 6 7 8]代表各小隊，我們改用[2 3 5 7 11 13 17 19]這8個質數
原先的對抗組合，例如第2和第6小隊原本記為(2,6)，現在記為3*13=39(第2和第6個質數)
於是上面3個規則又有等價的敘述了：

1. 每一直行的數字兩兩互質
2. 每一橫列的數字兩兩互質
3. 每個格子所裝的數字都不相同

於是上面的表格等價於

	A	B	C	D	E
T1	X	6	35	143	323
T2		X
T3			X
T4				X
T5					X

現在寫程式的思維是這個樣子的：
我們先製造所有可能的組合，共有C(8,2)=28種，舉例來說，數對記法就是(1,2) (1,3) (1,4) ... (7,8)，質因數法就是2*3=6、2*5=10、2*7=14、...、17*19=323
因為我們將使用質因數法作為此程式的main idea，所以將這28個數字由小排到大，令為w向量，則w=[6 10 14 15 21 ...... 323]
由於規則1和2需要用到互質的條件，現在要建立一個全部元素為1的5*5矩陣，如此一來，接下來的判定基本上就沒什麼問題了

再來是放置數字的規則(註：MATLAB的矩陣是column major，因此A(9)是代表a_42元素)
如果遇到w(k)不符合規則時，則換放入w(k+1)
由A(2)開始放入w(1)，再來移動到A(3)，由w(1)開始嘗試，因為w(1)上一格放過了，違反規則，因此換成w(2)。如此不斷的進行檢查再放入
如果一直換到w(28)都不符合規則時，將數字改回1，檢討上一格A(i-1)的數字，若上一格放入w(m)，則改為w(m+1)，再移回來A(i)，從w(1)開始再試一遍，試到數字放得進去為止
如此不斷重複，直到試出來或是跑完所有可能仍無解為止

於是，MATLAB表示：無解

一開始在猜測有沒有解的時候，有考慮過6個小隊玩4種遊戲的情況，結果一下子就被我排出解來了。另外，4個小隊玩3個遊戲也很容易就發現無解

這是6個小隊要玩4種遊戲的情況(底稿)
v = [2 3 5 7 11 13]; %六個質因數代表六小隊
%把這六個質因數兩兩相乘的組合全部列出來
p = v'*v;
for i = 1:6
    for j = 1:6
        if (i>=j)
            p(i,j) = 0; %把重複的數字去掉
        end
    end
end
%把這些組合排成列向量w，並去掉0
for i = 1:36
    w(i) = p(i);
end
w = sort(w);
w([1:21]) = [];
A = ones(4,4); %建立4*4表格放入數字


i = 1; %A矩陣的位置(column major)，例如A(7)即為第3列第2行的元素
while i<16
    if (mod(i,5)==1), i = i + 1; end %逢對角線即跳至下一個數(為了簡化討論，不將元素放至對角線)
    I = i - 4*ceil(i/4) + 4; %將i轉換為第I列第J行
    J = ceil(i/4);
    k = 1; %w(k)即為w向量中第k個元素
    while k<=15
        %判定若將w(k)放入A(I,J)，是否會與同一列、同一行其他數互質，以及是否重複選取A(i)以前的元素
        if (prod(gcd(A(I,:),w(k)))==1 && prod(gcd(A(:,J),w(k)))==1 && sum(sum(A==w(k)))==0)
            %符合條件者就放入表格中，並且準備判定下一個
            A(i) = w(k);
            if (mod(i,5)==0) %跳過對角線
                i = i + 2;
                I = i - 4*ceil(i/4) + 4;
                J = ceil(i/4);
            else
                i = i + 1;
                I = i - 4*ceil(i/4) + 4;
                J = ceil(i/4);
            end
            break;
        else
            k = k + 1; %不符合條件就換w(k+1)，並且再執行一次上面的判定
        end
        while (k==16) %當所有w(k)都試過一遍卻沒有符合的條件，就把這一格改成1，並且回頭將上一格的w(k)改成w(k+1)
            A(i) = 1;
            if (mod(i,5)==2)
                i = i - 2;
                I = i - 4*ceil(i/4) + 4;
                J = ceil(i/4);
            else
                i = i - 1;
                I = i - 4*ceil(i/4) + 4;
                J = ceil(i/4);
            end
            if (i==0), break; end %所有可能都試過了，但是都不符合條件，才會退到i=0。此時跳出所有迴圈，並宣布"No solution."
            k = find(A(i)==w) + 1;
        end
        if (i==0), break; end
    end
    if (i==0), disp('No solution.'); break; end
    if (i>=16), disp(A); end %所有數字都排進去，並且都符合規則，就把結果列出來，並結束迴圈
end


這是n個小隊要玩n/2+1種遊戲的情況(函數)

function out = team(n)
p = 2; s = 1; v = []; m = n/2 + 1;
while s<=n
    if isprime(p)==1
        v = [v p];
        s = s + 1;
    end
    p = p + 1;
end


P = v'*v;
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if (i>=j)
            P(i,j) = 0;
        end
    end
end
for i = 1:n^2
    w(i) = P(i);
end
w = sort(w);
w([1:n*(n+1)/2]) = [];
A = ones(m);


i = 1;
while i<m^2
    if (mod(i,m+1)==1), i = i + 1; end
    I = i - m*ceil(i/m) + m;
    J = ceil(i/m);
    k = 1;
    while k<=n*(n-1)/2
        if (prod(gcd(A(I,:),w(k)))==1 && prod(gcd(A(:,J),w(k)))==1 && sum(sum(A==w(k)))==0)
            A(i) = w(k)
            if (mod(i,m+1)==0)
                i = i + 2;
                I = i - m*ceil(i/m) + m;
                J = ceil(i/m);
            else
                i = i + 1;
                I = i - m*ceil(i/m) + m;
                J = ceil(i/m);
            end
            break;
        else
            k = k + 1;
        end
        while (k>n*(n-1)/2)
            A(i) = 1
            if (mod(i,m+1)==2)
                i = i - 2;
                I = i - m*ceil(i/m) + m;
                J = ceil(i/m);
            else
                i = i - 1;
                I = i - m*ceil(i/m) + m;
                J = ceil(i/m);
            end
            if (i==0), break; end
            k = find(A(i)==w) + 1;
        end
        if (i==0), break; end
    end
    if (i==0), disp('No solution.'); break; end
    if (i>=m^2), disp(A); end
end

MATLAB處理最小平方法

之前線代教了最小平方法的算法，用了$A^\mathrm{T}A\mathbf{\hat{x}}=A^\mathrm{T}\textbf{b}$
於是把這個方法丟給MATLAB算，馬上就跑出方程式的係數了
學以致用，很好XD
剛剛不小心找到了更簡單的方法...使用POLYFIT函數
p = polyfit(x,y,n)
##ReadMore##
其中x是所有點的x坐標，y是所有點的y坐標，n是插值多項式次數
輸出值p為一向量(其中的元素為多項式的係數以降冪排列)
其實這個函數本來是要計算多項式插值函數的，不過只要令n=1就是最小平方法了
如果要畫圖的話，再配合POLYVAL函數即可
POLYVAL函數的用法為polyval(p,x)，其中p是多項式，x是要代入的數

兩個函數結合在一起就可以畫出最小平方法的圖了
例如：

x = [1 2 3 4 5];
y = [1 2.1 3.1 3.9 4.8];
p = polyfit(x,y,1);
xx = 0:.1:6;
yy = polyval(p,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy);

心得：那我之前做結報那麼辛苦的用$A^\mathrm{T}A\mathbf{\hat{x}}=A^\mathrm{T}\textbf{b}$幹嘛OTZ

不動點定理

定理：設函數$f$是從$[0,1]$映到$[0,1]$，且$f\in C[0,1]$，則必存在一個$c\in [0,1]$使得\[f(c)=c\]
##ReadMore##
證明：令$g(x)=f(x)-x$，則\[\begin{align}g(0)&=f(0)\\ g(1)&=f(1)-1\end{align}\]
採用反證法，假設$g(0)g(1)>0$，則表示$f(0)f(1)>f(0)$，由於$0<f(0)\leq 1$，所以左右消去$f(0)$，得\[f(1)>1\]
顯然與命題不符，矛盾，得\[g(0)g(1)\leq 0\]
若$g(0)g(1)=0$，則表示$g(0)=0$或$g(1)=0$，也就是\[f(0)=0\text{ or }f(1)-1=0\]
命題成立
若$g(0)g(1)<0$，則根據中間值定理，存在$c\in [0,1]$使得$g(c)=0$，也就是\[f(c)-c=0\]
證畢

偉哉，行列式

這學期線代課印象最深刻的部分大概就是行列式吧
只需要三個看似基本的要求，就「唯一」決定行列式的運算規則，並且推導出許多有用的性質
1. $\text{det}(I)=1$
2. 兩列交換，行列式值變號
3. 行列式對第一列是線性的
就是這三條，實在是太酷了
想到以前高中學的行列式性質，其實都是從這三條導出來的，甚至連$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc$也可以導，明明在高中當作定義...

Bernoulli trial

丟m個硬幣，重複n次，每次正面x個
function bernoulli(m,n)
y = zeros(1,m+1);
for i = 1:n
    x = 0;
    for j = 1:m
        if (1==randi(2))
            x = x + 1;
        end
    end
    y(x+1) = y(x+1) + 1;
end
bar(y);

另外這個是亂做的，感覺沒啥意思

function test(n,m)
y = zeros(1,m);
for i = 1:n
    x = 0;
    for j = 1:m
        x = x + rand;
    end
    p = x/m;
    y(i) = p;
end
y = sort(y);
hist(y,100);

用矩陣旋轉圓錐曲線

以下是對於原點旋轉
令\[
A=\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix},
M=\begin{bmatrix}a&\frac{b}2&\frac{d}2\\\frac{b}2&c&\frac{e}2\\\frac{d}2&\frac{e}2&f\end{bmatrix}
\]圓錐曲線的一般式是\[
\Gamma:ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
\]可改寫成\[
\Gamma:A^TMA=0
\]令逆時針旋轉$\theta$角的旋轉矩陣為\[
R_{\theta}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}&0\\\sin{\theta}&\cos{\theta}&0\\0&0&1\end{bmatrix}
\]則旋轉過$\theta$角之後的圓錐曲線為\[
\Gamma':A^TR_{\theta}^TMR_{\theta}A=0
\]
##ReadMore##
以上我還沒證明，不過我的想法是
一般二維的坐標旋轉可以寫成這樣\[
\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\\sin{\theta}&\cos{\theta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}
\]改寫成齊次坐標的形式就變成這樣\[
\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}&0\\\sin{\theta}&\cos{\theta}&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}
\]兩邊轉置得\[
\begin{bmatrix}x'&y'&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos{\theta}&\sin{\theta}&0\\-\sin{\theta}&\cos{\theta}&0\\0&0&1\end{bmatrix}
\]把原本的$A^TMA$的$A^T$和$A$都套一下旋轉矩陣就行了

你將要結婚的年齡

話說剛剛在看我國一時寫的部落格文章，看到了這東西

A、 從1至9中選擇一個數
B、 將你所選的這個數乘以9
C、 得出來如果是兩位數的就相加，如果是個位數的就保留。
D、相加後的數再乘以3，然後加上曾經Kiss的人數。如果kiss不是你主動的，算-1。
F、 得出來的結果就是你將要結婚的年齡

那時候很單純的照著算了，算出來結果是27
##ReadMore##
我看到我同學(女生)在底下回覆說也是27，這時我就起疑心了
突然發現，不管1~9選哪個數字，加上kiss人數之前都一定是27啊啊啊......
所以這東西根本是拿來騙kiss次數的啊= =
我想當初這篇文章的原出處底下應該有很多人回覆算出來的結果吧，於是就上當了(偽裝得真好= =)

哇哈哈我有大學可以讀了，清大應數正取

今天是清大放榜的日子，一整天都超緊張的，因為榜單要等到16:00才公布
雖然是這麼說，可是聽說有可能偷跑，所以我中午的時候就跟著英文老師去辦公室查
結果，沒有偷跑= =
於是，下午三點又跑去圖書館上網查，一樣還是沒公布= =
真是的，清大這時候那麼準時幹嘛=3=，害我一直都好緊張
下午四點，到了公布的時間，我就再跑去一次圖書館查
去清大招生組網頁看榜單
喔耶爽啦我清大應數正取XDDDDD
而且還是第三喔XD
於是我就抱著爽翻的心情衝回教室，這心情和我當初第一階段放榜時反差還真大= =
超爽的，以後就可以用輕鬆的態度上課了，還可以幫班上做事
不過回家仔細一看，我根本不是正取第三，只是照報名序號剛好排第三個而已
害我還爽一下，以為自己很厲害= =

清華大學數學系應用數學組(清大應數)100年個人申請筆試題目

因為之前努力google就是找不到網路上有清大應數的筆試題目= =
所以想說今年的題目就讓我來貢獻，造福學弟妹
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第一部分

1. 設$\alpha=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$
   1. 請找出一領導係數為1的有理係數多項式，使得$f(\alpha)=0$。
   2. 求$\alpha^6-5\alpha^5-5\alpha^3-2\alpha^2+7\alpha+3$。
2. 若有個三角形的三邊長滿足$\frac1{a+b}+\frac1{b+c}=\frac3{a+b+c}$，證明此三角形有一個角為60度。
3. 有一拋物線與一正三角形的其中兩邊相切，若此正三角形的邊長為1，求拋物線焦距。
4. $\begin{cases}x+2y+2z&=12\\2x+3y+z&=17\\x^2+y^2+z^2&=k\end{cases}$，此方程組恰有一組解，求$k$。
5. 有一正四面體A-BCD，$\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=\overline{BD}=5$，$\overline{CD}=6$，設$\overline{AB}=x$
   1. 求$x$的範圍。
   2. 求此四面體的體積最大值。
6. 有一等差數列$a_1,a_2,...,a_{51}$，且$\begin{aligned}a_1+a_2+...+a_{51}&=-51\\a_1^2+a_2^2+...+a_{51}^2&=493\end{aligned}$，求公差。
7. 有一個四位數$a_1a_2a_3a_4$，$a_1a_2$是偶數，$a_1a_2a_3$是3的倍數，$a_1a_2a_3a_4$可被4整除，則$a_1a_2a_3a_4$有幾種可能?

第二部分

1. 試證明$\frac1{\sqrt{1}}+\frac1{\sqrt{2}}+...+\frac1{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-1)$在n為任意正整數時恆成立。
2. 若$\sin^6{x}+\cos^6{x}+a\sin{x}\cos{x}\geq0$，求$a$的範圍。
1. $A=\begin{bmatrix}1&\frac1{3}\\0&\frac1{3}\end{bmatrix}$，求$A^n$
2. 有兩數列$\langle a_n\rangle$和$\langle b_n\rangle$，$a_{n+1}=a_n+\frac1{3}b_n$，$b_{n+1}=\frac1{3}b_n$，請用$n$表示$a_n$和$b_n$，並求$\lim_{x\to\infty}a_n$和$\lim_{x\to\infty}b_n$。
4. 若$x^2+y^2+z^2=1$，求$2^x3^y5^z$的最大值。
5. 一點$(0,\frac3{2})$，一曲線$8y=x^4$，求點到曲線的最短距離。
6. 甲乙輪流擲骰子，擲出的點數累加到k(k從0開始)，先讓k成為7的倍數的人獲勝，求先擲的人獲勝的機率。
7. $p^2+3q^2=11907$，求$p,q$的整數解。

微分求極值

單變數函數的極值是高三下選修二的內容，太簡單了我不討論
所以直接跳到雙變數函數的微分法
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例題1.
$3x+2y=12$，求$xy$的最大值以及所對應的$x$和$y$
解.
一般人都會用算幾不等式求吧，可是我偏要用微分XD
令
\[f(x,y)=xy\]
$3x+2y=12$隱函數微分
\[\frac{dy}{dx}=\frac{-3}{2}\]
$f(x,y)$對$x$全微分
\[\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=y-\frac{3x}{2}\]
極值產生在
\[\frac{df}{dx}=y-\frac{3x}{2}=0\]
整理，得
\[3x=2y\]
代入$3x+2y=12$，答案就出來了，最大值是
\[f(2,3)=6\]

例題2.
$(x-2)^2+(y+3)^2=5$，求$2x-y+3$的最大值與最小值以及所對應的$x$和$y$
解.
一般人都會用柯西不等式求吧，可是我偏要用微分XD
令
\[f(x,y)=2x-y+3\]
$(x-2)^2+(y+3)^2=5$隱函數微分
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x-2}{y+3}\]
$f(x,y)$對$x$全微分
\[\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=2+\frac{x-2}{y+3}\]

極值產生在

\[\frac{df}{dx}=2+\frac{x-2}{y+3}=0\]

整理，得

\[x+2y=-4\]

與$(x-2)^2+(y+3)^2=5$解聯立，答案就出來了，最大值和最小值分別是

\[f(4,-4)=15,f(0,-2)=5\]

至於三變數函數我就不會隱函數微分了，所以只好用拉格朗日乘數法XD

例題3.

$2x+y+z=8$，求$xy^2z$的最大值以及所對應的$x$、$y$和$z$

解.一般人都會用算幾不等式吧，可是我偏要用微分XD

令

\[f(x,y,z)=xy^2z,g(x,y,z)=2x+y+z-8=0\]

這裡要用一個東西，就是令

\[w=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)\]

其中$\lambda$為拉格朗日乘數。極值產生在

\[\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x}&=0\\\frac{\partial w}{\partial y}&=0\\\frac{\partial w}{\partial z}&=0\\\frac{\partial w}{\partial \lambda}&=0\end{align*}\]

所以要開始了，令

\[w=(x+4y+9z)-\lambda(xyz-6)\]

\[\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x}&=y^2z-2\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial y}&=2xyz-\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial z}&=xy^2-\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial \lambda}&=-(2x+y+z-8)=0\end{align*}\]

四式解聯立，答案就出來了，最大值是

\[f(1,4,2)=32\]

超快速！不一樣的高斯消去法

今天在算高斯消去法和三階行列式降階的時候，發現這種降階法可以應用在高斯消去法，速度還滿快的，好處是不用特地去想要乘多少加過去，也不用調換列把1放到最上面。直接用行列式的算法就行了
以下舉個例子
$\begin{bmatrix}2&1&2&5\\1&-3&-2&-5\\4&1&3&8\end{bmatrix}$

直接把第二、三列第一行變0
$\begin{bmatrix}2&1&2&5\\0\\0\end{bmatrix}$

再來是補數字，補的方法非常妙，請仔細比較和原矩陣的關係

$\begin{bmatrix}2&1&2&5\\0&\begin{vmatrix}2&1\\1&-3\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}2&2\\1&-2\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}2&5\\1&-5\end{vmatrix}\\0&\begin{vmatrix}2&1\\4&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}2&2\\4&3\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}\end{bmatrix}$

整理一下

$\begin{bmatrix}2&1&2&5\\0&-7&-6&-15\\0&-2&-2&-4\end{bmatrix}$

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可以約分一下(選擇性動作)

$\begin{bmatrix}2&1&2&5\\0&7&6&15\\0&1&1&2\end{bmatrix}$

直接把第三列第二行變0

$\begin{bmatrix}2&1&2&5\\0&7&6&15\\0&0\end{bmatrix}$

又要開始補數字了，仔細比較和約分好的那個矩陣的關係

$\begin{bmatrix}2&1&2&5\\0&7&6&15\\0&0&\begin{vmatrix}7&6\\1&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}7&15\\1&2\end{vmatrix}\end{bmatrix}$

整理一下

$\begin{bmatrix}2&1&2&5\\0&7&6&15\\0&0&1&-1\end{bmatrix}$

此時應該看得出答案了吧

三階行列式降階技巧

參考資料：http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=3162&prev=3340&next=3014&page=1&sc=1#yartcmt

以下是一個不一樣的三階行列式降階法，大概講解一下作法：
1.從行列式裡面選一個非0的數字當分母
2.湊出4個跟所選數字有關的二階行列式

就拿左上角那個1來降
\[\begin{align*}&\begin{vmatrix}1&0&2\\2&-1&3\\4&1&8\end{vmatrix}\\=&\frac1{1}\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}1&0\\2&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}1&0\\4&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\4&8\end{vmatrix}\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}-1&-1\\1&0\end{vmatrix}\\=&1\end{align*}\]##ReadMore##右邊的3也可以
\[\begin{align*}&\begin{vmatrix}1&0&2\\2&-1&3\\4&1&8\end{vmatrix}\\=&\frac1{3}\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&2\\-1&3\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}2&3\\4&8\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}-1&3\\1&8\end{vmatrix}\end{vmatrix}\\=&\frac1{3}\begin{vmatrix}-1&2\\4&-11\end{vmatrix}\\=&1\end{align*}\]
其實這個可以證明，而且過程還滿簡單的
\[\begin{align*}&\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}a&b&c\\0&e-\frac{bd}a&f-\frac{cd}a\\0&h-\frac{bg}a&i-\frac{cg}a\end{vmatrix}\\=&a\begin{vmatrix}e-\frac{bd}a&f-\frac{cd}a\\h-\frac{bg}a&i-\frac{cg}a\end{vmatrix}\\=&\frac1{a}\begin{vmatrix}ae-bd&af-cd\\ah-bg&ai-cg\end{vmatrix}\\=\frac1{a}&\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}a&b\\g&h\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}\end{vmatrix}\end{align*}\]用f降也可以證
\[\begin{align*}&\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}a-\frac{cd}f&b-\frac{ce}f&0\\d&e&f\\g-\frac{di}f&h-\frac{ei}f&0\end{vmatrix}\\=&-f\begin{vmatrix}a-\frac{cd}f&b-\frac{ce}f\\g-\frac{di}f&h-\frac{ei}f\end{vmatrix}\\=&\frac1{f}\begin{vmatrix}af-cd&bf-ce\\di-fg&ei-fh\end{vmatrix}\\=&\frac1{f}\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}\end{vmatrix}\end{align*}\]

大樂透各獎項中獎機率分析

以下只討論只買1張彩券的中獎機率，包牌中獎機率待研究XD
以本期中獎號為例，本期(100000011)大樂透中獎號碼一般號為05 06 23 31 39 41，特別號為16
為了排版整齊，我只好把所有C都寫出來了= =(看下面就會發現其實第2個C有寫沒寫都一樣，因為都是1)##ReadMore##
說明:
5+1表貳獎(中5個一般號+特別號)
4+0表伍獎(中4個一般號)
2+1表示中2個一般號+特別號(沒這個獎XD)

解析:
以陸獎(中3個一般號+特別號)為例
假設買了一張彩券，號碼分別為05 16 23 31 38 49
第1個C表示從6個一般號選出3個號碼05 23 31
第2個C表示從1個特別號選出1個號碼16
第3個C表示從剩下42個號碼選出2個號碼38 49補齊

以下是各種情況的組合數

\[\begin{align*}6+0:C^6_6\times C^1_0\times C^{42}_0&=1\\5+1:C^6_5\times C^1_1\times C^{42}_0&=6\\5+0:C^6_5\times C^1_0\times C^{42}_1&=252\\4+1:C^6_4\times C^1_1\times C^{42}_1 &=630\\4+0:C^6_4\times C^1_0\times C^{42}_2 &=12915\\3+1:C^6_3\times C^1_1\times C^{42}_2 &=17220\\3+0:C^6_3\times C^1_0\times C^{42}_3 &=229600\\2+1:C^6_2\times C^1_1\times C^{42}_3 &=172200\\2+0:C^6_2\times C^1_0\times C^{42}_4 &=1678950\\1+1:C^6_1\times C^1_1\times C^{42}_4 &=671580\\1+0:C^6_1\times C^1_0\times C^{42}_5 &=5104008\\0+1:C^6_0\times C^1_1\times C^{42}_5 &=850668\\0+0:C^6_0\times C^1_0\times C^{42}_6 &=5245786\end{align*}\]
大樂透49選6總共可以有$C^{49}_6=13983816$種組合(不信把上面數字全部加在一起一定剛好等於13983816，我驗算過)
機率的定義為「所有的情形數 分之 你要的情形數」
所以各項機率分別為

\[\begin{align*}6+0&:7.15\times 10^{-8}\\5+1&:4.29\times 10^{-7}\\5+0&:1.80\times 10^{-5}\\4+1&:4.51\times 10^{-5}\\4+0&:0.09\%\\3+1&:0.12\%\\3+0&:1.64\%\\2+1&:1.23\%\\2+0&:12.0\%\\1+1&:4.80\%\\1+0&:36.5\%\\0+1&:6.08\%\\0+0&:37.5\%\end{align*}\]
這樣算一算，中任何一種獎的機率是1.9%，也就是說完全沒有中獎的機率是98.1%
你看看，連要回本的機率都這麼低了，更何況是中頭獎
所以我才說中頭獎的機率很低嘛