三階行列式降階技巧

參考資料：http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=3162&prev=3340&next=3014&page=1&sc=1#yartcmt

以下是一個不一樣的三階行列式降階法，大概講解一下作法：
1.從行列式裡面選一個非0的數字當分母
2.湊出4個跟所選數字有關的二階行列式

就拿左上角那個1來降
$$\begin{align*}&\begin{vmatrix}1&0&2\\2&-1&3\\4&1&8\end{vmatrix}\\=&\frac1{1}\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}1&0\\2&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}1&0\\4&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&2\\4&8\end{vmatrix}\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}-1&-1\\1&0\end{vmatrix}\\=&1\end{align*}$$ ##ReadMore##右邊的3也可以
$$\begin{align*}&\begin{vmatrix}1&0&2\\2&-1&3\\4&1&8\end{vmatrix}\\=&\frac1{3}\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}0&2\\-1&3\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}2&3\\4&8\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}-1&3\\1&8\end{vmatrix}\end{vmatrix}\\=&\frac1{3}\begin{vmatrix}-1&2\\4&-11\end{vmatrix}\\=&1\end{align*}$$
其實這個可以證明，而且過程還滿簡單的
$$\begin{align*}&\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}a&b&c\\0&e-\frac{bd}a&f-\frac{cd}a\\0&h-\frac{bg}a&i-\frac{cg}a\end{vmatrix}\\=&a\begin{vmatrix}e-\frac{bd}a&f-\frac{cd}a\\h-\frac{bg}a&i-\frac{cg}a\end{vmatrix}\\=&\frac1{a}\begin{vmatrix}ae-bd&af-cd\\ah-bg&ai-cg\end{vmatrix}\\=\frac1{a}&\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}a&b\\g&h\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}\end{vmatrix}\end{align*}$$ 用f降也可以證
$$\begin{align*}&\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\\=&\begin{vmatrix}a-\frac{cd}f&b-\frac{ce}f&0\\d&e&f\\g-\frac{di}f&h-\frac{ei}f&0\end{vmatrix}\\=&-f\begin{vmatrix}a-\frac{cd}f&b-\frac{ce}f\\g-\frac{di}f&h-\frac{ei}f\end{vmatrix}\\=&\frac1{f}\begin{vmatrix}af-cd&bf-ce\\di-fg&ei-fh\end{vmatrix}\\=&\frac1{f}\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}\end{vmatrix}\end{align*}$$