微分求極值

單變數函數的極值是高三下選修二的內容，太簡單了我不討論
所以直接跳到雙變數函數的微分法
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例題1.
$3x+2y=12$，求$xy$的最大值以及所對應的$x$和$y$
解.
一般人都會用算幾不等式求吧，可是我偏要用微分XD
令
\[f(x,y)=xy\]
$3x+2y=12$隱函數微分
\[\frac{dy}{dx}=\frac{-3}{2}\]
$f(x,y)$對$x$全微分
\[\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=y-\frac{3x}{2}\]
極值產生在
\[\frac{df}{dx}=y-\frac{3x}{2}=0\]
整理，得
\[3x=2y\]
代入$3x+2y=12$，答案就出來了，最大值是
\[f(2,3)=6\]

例題2.
$(x-2)^2+(y+3)^2=5$，求$2x-y+3$的最大值與最小值以及所對應的$x$和$y$
解.
一般人都會用柯西不等式求吧，可是我偏要用微分XD
令
\[f(x,y)=2x-y+3\]
$(x-2)^2+(y+3)^2=5$隱函數微分
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x-2}{y+3}\]
$f(x,y)$對$x$全微分
\[\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=2+\frac{x-2}{y+3}\]

極值產生在

\[\frac{df}{dx}=2+\frac{x-2}{y+3}=0\]

整理，得

\[x+2y=-4\]

與$(x-2)^2+(y+3)^2=5$解聯立，答案就出來了，最大值和最小值分別是

\[f(4,-4)=15,f(0,-2)=5\]

至於三變數函數我就不會隱函數微分了，所以只好用拉格朗日乘數法XD

例題3.

$2x+y+z=8$，求$xy^2z$的最大值以及所對應的$x$、$y$和$z$

解.一般人都會用算幾不等式吧，可是我偏要用微分XD

令

\[f(x,y,z)=xy^2z,g(x,y,z)=2x+y+z-8=0\]

這裡要用一個東西，就是令

\[w=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)\]

其中$\lambda$為拉格朗日乘數。極值產生在

\[\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x}&=0\\\frac{\partial w}{\partial y}&=0\\\frac{\partial w}{\partial z}&=0\\\frac{\partial w}{\partial \lambda}&=0\end{align*}\]

所以要開始了，令

\[w=(x+4y+9z)-\lambda(xyz-6)\]

\[\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x}&=y^2z-2\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial y}&=2xyz-\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial z}&=xy^2-\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial \lambda}&=-(2x+y+z-8)=0\end{align*}\]

四式解聯立，答案就出來了，最大值是

\[f(1,4,2)=32\]