所以直接跳到雙變數函數的微分法
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例題1.
3x+2y=12,求xy的最大值以及所對應的x和y
解.
一般人都會用算幾不等式求吧,可是我偏要用微分XD
令
f(x,y)=xy
3x+2y=12隱函數微分
dydx=−32
f(x,y)對x全微分
dfdx=∂f∂x+∂f∂ydydx=y−3x2
極值產生在
dfdx=y−3x2=0
整理,得
3x=2y
代入3x+2y=12,答案就出來了,最大值是
f(2,3)=6
例題2.
(x−2)2+(y+3)2=5,求2x−y+3的最大值與最小值以及所對應的x和y
解.
一般人都會用柯西不等式求吧,可是我偏要用微分XD
令
f(x,y)=2x−y+3
(x−2)2+(y+3)2=5隱函數微分
dydx=−x−2y+3
f(x,y)對x全微分
dfdx=∂f∂x+∂f∂ydydx=2+x−2y+3
極值產生在
dfdx=2+x−2y+3=0
整理,得
x+2y=−4
與(x−2)2+(y+3)2=5解聯立,答案就出來了,最大值和最小值分別是
f(4,−4)=15,f(0,−2)=5
至於三變數函數我就不會隱函數微分了,所以只好用拉格朗日乘數法XD
例題3.
2x+y+z=8,求xy2z的最大值以及所對應的x、y和z
解.一般人都會用算幾不等式吧,可是我偏要用微分XD
令
f(x,y,z)=xy2z,g(x,y,z)=2x+y+z−8=0
這裡要用一個東西,就是令
w=f(x,y,z)−λg(x,y,z)
其中λ為拉格朗日乘數。極值產生在
∂w∂x=0∂w∂y=0∂w∂z=0∂w∂λ=0
所以要開始了,令
w=(x+4y+9z)−λ(xyz−6)
∂w∂x=y2z−2λ=0∂w∂y=2xyz−λ=0∂w∂z=xy2−λ=0∂w∂λ=−(2x+y+z−8)=0
四式解聯立,答案就出來了,最大值是
f(1,4,2)=32
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