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2011年4月3日 星期日

微分求極值

單變數函數的極值是高三下選修二的內容,太簡單了我不討論
所以直接跳到雙變數函數的微分法
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例題1.
3x+2y=12,求xy的最大值以及所對應的xy
解.
一般人都會用算幾不等式求吧,可是我偏要用微分XD

f(x,y)=xy

3x+2y=12隱函數微分
dydx=32

f(x,y)x全微分
dfdx=fx+fydydx=y3x2

極值產生在
dfdx=y3x2=0

整理,得
3x=2y

代入3x+2y=12,答案就出來了,最大值是
f(2,3)=6


例題2.
(x2)2+(y+3)2=5,求2xy+3的最大值與最小值以及所對應的xy
解.
一般人都會用柯西不等式求吧,可是我偏要用微分XD

f(x,y)=2xy+3

(x2)2+(y+3)2=5隱函數微分
dydx=x2y+3

f(x,y)x全微分
dfdx=fx+fydydx=2+x2y+3


極值產生在
dfdx=2+x2y+3=0
整理,得
x+2y=4
(x2)2+(y+3)2=5解聯立,答案就出來了,最大值和最小值分別是
f(4,4)=15,f(0,2)=5

至於三變數函數我就不會隱函數微分了,所以只好用拉格朗日乘數法XD
例題3.
2x+y+z=8,求xy2z的最大值以及所對應的xyz
解.一般人都會用算幾不等式吧,可是我偏要用微分XD
f(x,y,z)=xy2z,g(x,y,z)=2x+y+z8=0
這裡要用一個東西,就是令
w=f(x,y,z)λg(x,y,z)
其中λ為拉格朗日乘數。極值產生在
wx=0wy=0wz=0wλ=0
所以要開始了,令
w=(x+4y+9z)λ(xyz6)
wx=y2z2λ=0wy=2xyzλ=0wz=xy2λ=0wλ=(2x+y+z8)=0
四式解聯立,答案就出來了,最大值是
f(1,4,2)=32

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