清華大學數學系應用數學組(清大應數)100年個人申請筆試題目

因為之前努力google就是找不到網路上有清大應數的筆試題目= =
所以想說今年的題目就讓我來貢獻，造福學弟妹
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第一部分

1. 設$\alpha=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$
   1. 請找出一領導係數為1的有理係數多項式，使得$f(\alpha)=0$。
   2. 求$\alpha^6-5\alpha^5-5\alpha^3-2\alpha^2+7\alpha+3$。
2. 若有個三角形的三邊長滿足$\frac1{a+b}+\frac1{b+c}=\frac3{a+b+c}$，證明此三角形有一個角為60度。
3. 有一拋物線與一正三角形的其中兩邊相切，若此正三角形的邊長為1，求拋物線焦距。
4. $\begin{cases}x+2y+2z&=12\\2x+3y+z&=17\\x^2+y^2+z^2&=k\end{cases}$，此方程組恰有一組解，求$k$。
5. 有一正四面體A-BCD，$\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=\overline{BD}=5$，$\overline{CD}=6$，設$\overline{AB}=x$
   1. 求$x$的範圍。
   2. 求此四面體的體積最大值。
6. 有一等差數列$a_1,a_2,...,a_{51}$，且$\begin{aligned}a_1+a_2+...+a_{51}&=-51\\a_1^2+a_2^2+...+a_{51}^2&=493\end{aligned}$，求公差。
7. 有一個四位數$a_1a_2a_3a_4$，$a_1a_2$是偶數，$a_1a_2a_3$是3的倍數，$a_1a_2a_3a_4$可被4整除，則$a_1a_2a_3a_4$有幾種可能?

第二部分

1. 試證明$\frac1{\sqrt{1}}+\frac1{\sqrt{2}}+...+\frac1{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-1)$在n為任意正整數時恆成立。
2. 若$\sin^6{x}+\cos^6{x}+a\sin{x}\cos{x}\geq0$，求$a$的範圍。
1. $A=\begin{bmatrix}1&\frac1{3}\\0&\frac1{3}\end{bmatrix}$，求$A^n$
2. 有兩數列$\langle a_n\rangle$和$\langle b_n\rangle$，$a_{n+1}=a_n+\frac1{3}b_n$，$b_{n+1}=\frac1{3}b_n$，請用$n$表示$a_n$和$b_n$，並求$\lim_{x\to\infty}a_n$和$\lim_{x\to\infty}b_n$。
4. 若$x^2+y^2+z^2=1$，求$2^x3^y5^z$的最大值。
5. 一點$(0,\frac3{2})$，一曲線$8y=x^4$，求點到曲線的最短距離。
6. 甲乙輪流擲骰子，擲出的點數累加到k(k從0開始)，先讓k成為7的倍數的人獲勝，求先擲的人獲勝的機率。
7. $p^2+3q^2=11907$，求$p,q$的整數解。