20110417 F.I.R. 亞特蘭提斯 台北簽唱會

期待已久的新專輯終於到手了，哈哈，這次當然也是用預購的啦，因為預購有好多精美的贈品喔
然後4/17星期日去簽唱會，雨下超大的，一堆人撐傘，有夠麻煩= =
不過就算下雨，我還是要到場支持F.I.R.
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他們現場唱功超讚的啦，雖然飛忘詞XDD
最後是簽名，超爽的我又要到簽名了，還握到手
握到阿沁的手就和他說謝謝，他也跟我謝謝
握到飛的手還跟他說：「就算下雨還是要來！」他就說：「對啊，好辛苦喔。」
他超好的，還問我頭髮有沒有溼，我就說沒有
握到建寧老師的手，他說：「5/14，演唱會，要來喔。」
於是我很有信心，大聲的回：「好！」
至於我到時候會不會去就不知道了XD，希望可以去
以下附上影片，超難拍的，手一直抖= =

哇哈哈我有大學可以讀了，清大應數正取

今天是清大放榜的日子，一整天都超緊張的，因為榜單要等到16:00才公布
雖然是這麼說，可是聽說有可能偷跑，所以我中午的時候就跟著英文老師去辦公室查
結果，沒有偷跑= =
於是，下午三點又跑去圖書館上網查，一樣還是沒公布= =
真是的，清大這時候那麼準時幹嘛=3=，害我一直都好緊張
下午四點，到了公布的時間，我就再跑去一次圖書館查
去清大招生組網頁看榜單
喔耶爽啦我清大應數正取XDDDDD
而且還是第三喔XD
於是我就抱著爽翻的心情衝回教室，這心情和我當初第一階段放榜時反差還真大= =
超爽的，以後就可以用輕鬆的態度上課了，還可以幫班上做事
不過回家仔細一看，我根本不是正取第三，只是照報名序號剛好排第三個而已
害我還爽一下，以為自己很厲害= =

清華大學數學系應用數學組(清大應數)100年個人申請筆試題目

因為之前努力google就是找不到網路上有清大應數的筆試題目= =
所以想說今年的題目就讓我來貢獻，造福學弟妹
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第一部分

1. 設$\alpha=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$
   1. 請找出一領導係數為1的有理係數多項式，使得$f(\alpha)=0$。
   2. 求$\alpha^6-5\alpha^5-5\alpha^3-2\alpha^2+7\alpha+3$。
2. 若有個三角形的三邊長滿足$\frac1{a+b}+\frac1{b+c}=\frac3{a+b+c}$，證明此三角形有一個角為60度。
3. 有一拋物線與一正三角形的其中兩邊相切，若此正三角形的邊長為1，求拋物線焦距。
4. $\begin{cases}x+2y+2z&=12\\2x+3y+z&=17\\x^2+y^2+z^2&=k\end{cases}$，此方程組恰有一組解，求$k$。
5. 有一正四面體A-BCD，$\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=\overline{BD}=5$，$\overline{CD}=6$，設$\overline{AB}=x$
   1. 求$x$的範圍。
   2. 求此四面體的體積最大值。
6. 有一等差數列$a_1,a_2,...,a_{51}$，且$\begin{aligned}a_1+a_2+...+a_{51}&=-51\\a_1^2+a_2^2+...+a_{51}^2&=493\end{aligned}$，求公差。
7. 有一個四位數$a_1a_2a_3a_4$，$a_1a_2$是偶數，$a_1a_2a_3$是3的倍數，$a_1a_2a_3a_4$可被4整除，則$a_1a_2a_3a_4$有幾種可能?

第二部分

1. 試證明$\frac1{\sqrt{1}}+\frac1{\sqrt{2}}+...+\frac1{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-1)$在n為任意正整數時恆成立。
2. 若$\sin^6{x}+\cos^6{x}+a\sin{x}\cos{x}\geq0$，求$a$的範圍。
1. $A=\begin{bmatrix}1&\frac1{3}\\0&\frac1{3}\end{bmatrix}$，求$A^n$
2. 有兩數列$\langle a_n\rangle$和$\langle b_n\rangle$，$a_{n+1}=a_n+\frac1{3}b_n$，$b_{n+1}=\frac1{3}b_n$，請用$n$表示$a_n$和$b_n$，並求$\lim_{x\to\infty}a_n$和$\lim_{x\to\infty}b_n$。
4. 若$x^2+y^2+z^2=1$，求$2^x3^y5^z$的最大值。
5. 一點$(0,\frac3{2})$，一曲線$8y=x^4$，求點到曲線的最短距離。
6. 甲乙輪流擲骰子，擲出的點數累加到k(k從0開始)，先讓k成為7的倍數的人獲勝，求先擲的人獲勝的機率。
7. $p^2+3q^2=11907$，求$p,q$的整數解。

微分求極值

單變數函數的極值是高三下選修二的內容，太簡單了我不討論
所以直接跳到雙變數函數的微分法
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例題1.
$3x+2y=12$，求$xy$的最大值以及所對應的$x$和$y$
解.
一般人都會用算幾不等式求吧，可是我偏要用微分XD
令
\[f(x,y)=xy\]
$3x+2y=12$隱函數微分
\[\frac{dy}{dx}=\frac{-3}{2}\]
$f(x,y)$對$x$全微分
\[\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=y-\frac{3x}{2}\]
極值產生在
\[\frac{df}{dx}=y-\frac{3x}{2}=0\]
整理，得
\[3x=2y\]
代入$3x+2y=12$，答案就出來了，最大值是
\[f(2,3)=6\]

例題2.
$(x-2)^2+(y+3)^2=5$，求$2x-y+3$的最大值與最小值以及所對應的$x$和$y$
解.
一般人都會用柯西不等式求吧，可是我偏要用微分XD
令
\[f(x,y)=2x-y+3\]
$(x-2)^2+(y+3)^2=5$隱函數微分
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x-2}{y+3}\]
$f(x,y)$對$x$全微分
\[\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=2+\frac{x-2}{y+3}\]

極值產生在

\[\frac{df}{dx}=2+\frac{x-2}{y+3}=0\]

整理，得

\[x+2y=-4\]

與$(x-2)^2+(y+3)^2=5$解聯立，答案就出來了，最大值和最小值分別是

\[f(4,-4)=15,f(0,-2)=5\]

至於三變數函數我就不會隱函數微分了，所以只好用拉格朗日乘數法XD

例題3.

$2x+y+z=8$，求$xy^2z$的最大值以及所對應的$x$、$y$和$z$

解.一般人都會用算幾不等式吧，可是我偏要用微分XD

令

\[f(x,y,z)=xy^2z,g(x,y,z)=2x+y+z-8=0\]

這裡要用一個東西，就是令

\[w=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)\]

其中$\lambda$為拉格朗日乘數。極值產生在

\[\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x}&=0\\\frac{\partial w}{\partial y}&=0\\\frac{\partial w}{\partial z}&=0\\\frac{\partial w}{\partial \lambda}&=0\end{align*}\]

所以要開始了，令

\[w=(x+4y+9z)-\lambda(xyz-6)\]

\[\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x}&=y^2z-2\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial y}&=2xyz-\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial z}&=xy^2-\lambda=0\\\frac{\partial w}{\partial \lambda}&=-(2x+y+z-8)=0\end{align*}\]

四式解聯立，答案就出來了，最大值是

\[f(1,4,2)=32\]

我那天真的太衝動了

第一階段通過名單出來那天，我接到簡訊得知我只通過清大應數

原本那天心情很不好，幾乎決定要考指考了

結果隔天，我就開始動搖了，過幾天我就報名了清大應數的筆試XDD

其實清大也是個很不錯的學校啦，我想把考指考這個問題放到筆試結果出來再決定

總之我的情緒變化還真大XD

4/8星期五筆試囉，希望我都會算，哈哈