剛剛閒閒沒事在翻我以前寫的這篇 大樂透各獎項中獎機率分析
這篇原本是寫在無名的，後來搬到Blogger這裡來
其實我每次打開無名都會先看到這篇文章，因為這是我在無名上寫的最後一篇文章，後來就搬家了
雖然看到這篇N次了，但我一直沒有發現，這篇內容可以當巴斯卡定理的推廣啊啊啊啊啊
後來發現，其實Vandermonde's identity比較接近這定理
因為不知道有沒有人發現過這玩意，所以我暫時叫它「樂透恆等式」好了XD
$\text{Theorem: (Lottery equality) Let }n=n_1+n_2+\cdots+n_k\text{. Then}$\[
{n \choose m} = \sum_{0\leq m_i\leq n_i\atop m_1+m_2+\cdots m_k=m}{n_1 \choose m_1}{n_2 \choose m_2}\cdots{n_k \choose m_k}.
\]
##ReadMore##
取$n_1=n-1,\ n_2=1$，就是巴斯卡定理：
\begin{align*}
{n \choose m} &= {n-1 \choose m}{1 \choose 0}+{n-1 \choose m-1}{1 \choose 1}\\
&= {n-1 \choose m}+{n-1 \choose m-1}
\end{align*}
大樂透的所有組合數就是取$n_1=6,\ n_2=1,\ n_3=42$，其中$n_1=6$代表6個一般號，$n_2=1$代表1個特別號，$n_3=42$代表剩下42個不會中獎的號碼
常見的\[{2n \choose n} = \sum_{k=0}^n {n \choose k}{n \choose n-k}\]也可以用這個定理直接推論
證明我就懶得證了，反正應該是用數學歸納法之類的吧XD
不過今天和同學討論，發現一個很直觀的證明
假設現在要從$n$個人裡面挑$m$個人，那我們可以把這$n$個人拆成$k$堆，即$n=n_1+n_2+\cdots+n_k$。從$n_1,\ n_2,\ \ldots,\ n_k$這$k$堆人裡面分別挑$m_1,\ m_2,\ \ldots,\ m_k$人，可以有${n_1 \choose m_1}{n_2 \choose m_2}\cdots{n_k \choose m_k}$種挑法，其中$m_1+m_2+\cdots m_k=m$。把所有的挑法全部加起來就是等式右邊了。
2013年10月12日 星期六
2013.10流水帳
10/31(四)
8點半微方，34n中日，午餐是蛋包飯，56耍廢、逛總圖、睡覺，78旁聽程設，17點打工，19點吃晚餐(姐妹)，19點半師徒，21點多回數圖拿東西，22點重訓，23點回家
10/30(三)
9點半數圖寫線代作業，12點多吃午餐(金元寶)，56線代，789動態幾何，晚餐是21世紀烤雞，19點半看新生盃男排，21點多數圖寫日文作業，22點重訓，23點回家
10/29(二)
9點半去數館，34體育，午餐吃免錢，56數值，7線代，89微方，晚餐保如，19點微方期中考，21點寫線代作業，22點重訓，23點回家
10/28(一)
8點半微方，10點打工，12點吃午餐(我的小館)，下午睡覺+耍廢+打code，晚餐吃松原，晚上耍廢
10/25(五)
8點半微方，34n中日，午餐是蛋包飯，56耍廢、逛總圖、睡覺，78旁聽程設，17點打工，19點吃晚餐(姐妹)，19點半師徒，21點多回數圖拿東西，22點重訓，23點回家
10/30(三)
9點半數圖寫線代作業，12點多吃午餐(金元寶)，56線代，789動態幾何，晚餐是21世紀烤雞，19點半看新生盃男排，21點多數圖寫日文作業，22點重訓，23點回家
10/29(二)
9點半去數館，34體育，午餐吃免錢，56數值，7線代，89微方，晚餐保如，19點微方期中考，21點寫線代作業，22點重訓，23點回家
10/28(一)
8點半微方，10點打工，12點吃午餐(我的小館)，下午睡覺+耍廢+打code，晚餐吃松原，晚上耍廢
10/25(五)
12打工，34通識，午餐是姐妹，56數值期中考，78數圖玩電腦，9吃晚餐(牛義家)，18點多繼續數圖耍廢，20點打球，21點看新生盃，22點多回家
10/24(四)
8點半微方，34n中日，午餐是滷味，56數圖睡覺耍廢，78旁聽程設，17點打工，19點吃晚麥當勞，20點寫數值，22點夜讀區寫數值，0點半回家
8點半微方，34n中日，午餐是滷味，56數圖睡覺耍廢，78旁聽程設，17點打工，19點吃晚麥當勞，20點寫數值，22點夜讀區寫數值，0點半回家
10/23(三)
6點半重訓(被放生)，12打球，34數圖寫線代作業，午餐買保如去風二吃，56線代，789動態幾何，18點多買晚餐(姐妹)，19點多數圖睡覺，20點多寫日文、數值，22點夜讀區，23點多吃大薯，約24點回家
6點半重訓(被放生)，12打球，34數圖寫線代作業，午餐買保如去風二吃，56線代，789動態幾何，18點多買晚餐(姐妹)，19點多數圖睡覺，20點多寫日文、數值，22點夜讀區，23點多吃大薯，約24點回家
10/22(二)
8點數圖打混+寫線代，34網球，午餐123，56數值，7線代，89師徒，18點晚餐(姐妹)，19點微方小考+演習，20點多重訓，22點夜讀區沒開→回家
8點數圖打混+寫線代，34網球，午餐123，56數值，7線代，89師徒，18點晚餐(姐妹)，19點微方小考+演習，20點多重訓，22點夜讀區沒開→回家
10/21(一)
7點多吃早餐(比司多)，8點半微方，10點打工，12點吃午餐(保如)，下午數圖睡覺、寫微方，17點多吃晚餐(蛋包飯)，18點多寫微方、打code，22點回家
7點多吃早餐(比司多)，8點半微方，10點打工，12點吃午餐(保如)，下午數圖睡覺、寫微方，17點多吃晚餐(蛋包飯)，18點多寫微方、打code，22點回家
10/18(五)
12打工，34通識，中午吃滷味，56數值，7數圖睡覺，8耍廢，17點吃晚餐(麵朝)，17點半看新生盃壘球，20點打球，22點宵夜+聊天，0點二一坡聊天，1點回家
12打工，34通識，中午吃滷味，56數值，7數圖睡覺，8耍廢，17點吃晚餐(麵朝)，17點半看新生盃壘球，20點打球，22點宵夜+聊天，0點二一坡聊天，1點回家
10/17(四)
6點半重訓，8點半微方，34n中日，13點吃午餐(蛋包飯)，56耍廢+寫數值，78旁聽程設，17點打工，19點吃晚餐(麥當勞)，20點看新生盃女排，21點回數圖寫數值，22點夜讀區寫數值，23點半回家
6點半重訓，8點半微方，34n中日，13點吃午餐(蛋包飯)，56耍廢+寫數值，78旁聽程設，17點打工，19點吃晚餐(麥當勞)，20點看新生盃女排，21點回數圖寫數值，22點夜讀區寫數值，23點半回家
10/16(三)
6點半重訓，8點打球，10點數圖寫線代作業，12點吃午餐(123)，56線代，789動態幾何，19點看新生盃女排，20點半系羽開會，22點重訓，約23點前回家
6點半重訓，8點打球，10點數圖寫線代作業，12點吃午餐(123)，56線代，789動態幾何，19點看新生盃女排，20點半系羽開會，22點重訓，約23點前回家
10/15(二)
10點多被一通電話叫醒，才發現睡過頭，沒吃到早餐，34網球，午餐是比司多+剩的早餐，n忘記上線代，56數值，7線代，89弄微方習題，晚餐是滷味，19點微方演習，20點多夜讀區，22點半回家
10點多被一通電話叫醒，才發現睡過頭，沒吃到早餐，34網球，午餐是比司多+剩的早餐，n忘記上線代，56數值，7線代，89弄微方習題，晚餐是滷味，19點微方演習，20點多夜讀區，22點半回家
10/14(一)
6點半重訓(被放生)，8點半微方，10點打工，12點吃午餐(123)，13點半師徒，15點回數圖睡覺、寫微方，17點多吃晚餐(保如)，18點多回數圖寫微方，20點看新生盃，22點多回家
6點半重訓(被放生)，8點半微方，10點打工，12點吃午餐(123)，13點半師徒，15點回數圖睡覺、寫微方，17點多吃晚餐(保如)，18點多回數圖寫微方，20點看新生盃，22點多回家
10/11(五)
6點半重訓，12打工，34通識，中午吃蛋包飯，56數值，下午耍廢，晚餐吃保如，18點多數圖耍廢，20點打球，22點吃宵夜，23點多回家
6點半重訓，12打工，34通識，中午吃蛋包飯，56數值，下午耍廢，晚餐吃保如，18點多數圖耍廢，20點打球，22點吃宵夜，23點多回家
10/10(四)
14點才爬起來，去總圖寫數值作業，17點多吃晚餐123，18點多去夜讀區繼續寫作業，23點左右回家
10/9(三)
8點打球(餵球QQ)，10點數圖寫作業，12點吃風雲，56線代，789動態幾何，晚餐吃711，19點聽講座，21點重訓，22點吃宵夜，23點看電影
10/8(二)
34體育，中午吃711，56數值，7線代，17點師徒，晚餐吃雞腿飯，19點微方演習，21點重訓，22點回家
10/7(一)
8點半微方，10點打工，12點吃午餐(老虎麵)，13點多數圖耍廢，14點睡覺，16點多醒來寫微方，17點多吃晚餐(滷味)，18點多數圖寫作業，22點回家
10/6(日)
12點爬起來，午餐吃麥當勞，到數圖玩電腦，14點代班，17點多師徒，19點吃晚餐(豬排鐵板麵)，20點打球，22點多小吃部聊天，0點回家
10/5(六)
這週沒有回家，14點爬起來到數圖玩電腦，17點去吃晚餐(滷味)，18點多去夜讀區，20點半去重訓，22點回家
10/4(五)
12打工，34通識，中午吃比司多，56數值，下午耍廢，晚餐吃蛋包飯，20點打球
10/3(四)
6點半重訓，8點半終於記得上微方了，34n中日，中午吃保如，5弄電腦，6睡覺，78旁聽程設，17點打工，19點多去打桌遊，晚餐是123
10/2(三)
8點打球(餵球QQ)，10點回數圖耍廢，11點半吃午餐(松原)，56線代，789動態幾何，晚餐吃免費便當，19點數值演習，20點蹺團練在數圖耍廢，約22點去吃冰
10/1(二)
早上到數圖寫數值作業，34體育課，中午吃比司多義大利麵，56數值，7線代，89師徒課，晚上被請客吃蛋包飯，19點微方演習，20點期初社大，21點重訓，22點吃冰+聊天
2013年9月28日 星期六
2013.9流水帳
怕忘記自己上禮拜同一時間在幹嘛，會覺得很煩惱(?)，所以來寫流水帳好了
9/30(一)
6點半重訓，8點半終於記得上微方了，10點打工到13點半，午餐是握便當(吧)，整個下午在趕數值作業，晚上吃123，回數圖繼續趕作業(崩潰)，22點數圖關門，投靠夜讀區到凌晨1點
9/27(五)
6點半爬起來重訓，12打工，34通識，中午吃二招，56數值，16點重訓到18點，晚上吃風雲，吃完回數館睡覺，21點打工(代班)，結束後回家
9/26(四)
8點半忘記去上微方(幹)，9點多才起來，34n中日，中午吃蛋包飯，56沒事，78旁聽程設，17點打工，19點認親、家聚
9/25(三)
12節打球，34n中日，中午吃麵包，56線代，789動態幾何，晚上國樂社迎新茶會
9/30(一)
6點半重訓，8點半終於記得上微方了，10點打工到13點半，午餐是握便當(吧)，整個下午在趕數值作業，晚上吃123，回數圖繼續趕作業(崩潰)，22點數圖關門，投靠夜讀區到凌晨1點
9/27(五)
6點半爬起來重訓，12打工，34通識，中午吃二招，56數值，16點重訓到18點，晚上吃風雲，吃完回數館睡覺，21點打工(代班)，結束後回家
9/26(四)
8點半忘記去上微方(幹)，9點多才起來，34n中日，中午吃蛋包飯，56沒事，78旁聽程設，17點打工，19點認親、家聚
12節打球，34n中日，中午吃麵包，56線代，789動態幾何，晚上國樂社迎新茶會
2013年7月23日 星期二
2013年2月24日 星期日
一題多解
翻自己以前寫的網誌，升高一的時候利用數學歸納法證明
\[3|4^n-1 \forall n\in\mathbb{N}\]
現在所學越來越多，能用的工具也越來越多了
我發現這個命題可以推廣為
\[m-1|m^n-1 \forall n\in\mathbb{N}\]
其實證明用同餘就秒殺了
因為$m\equiv1(\text{mod }m-1)$
兩邊同時$n$次方，得$m^n\equiv1(\text{mod }m-1)$
\[3|4^n-1 \forall n\in\mathbb{N}\]
現在所學越來越多，能用的工具也越來越多了
我發現這個命題可以推廣為
\[m-1|m^n-1 \forall n\in\mathbb{N}\]
其實證明用同餘就秒殺了
因為$m\equiv1(\text{mod }m-1)$
兩邊同時$n$次方，得$m^n\equiv1(\text{mod }m-1)$
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