12/12(四)
微方 中日 午餐(保如) 寫數值作業 旁聽程設 打工 晚餐(麥當勞) 寫數值作業 回家
12/11(三)
寫線代作業+耍廢 午餐(8鍋) 線代 拍影片 數學營說明會 重訓 回家
12/10(二)
看數值(兼烙賽) 體育 午餐(土司= =) 數值(+小考) 線代 打混之類的 晚餐(123) 打混 微方演習 寫code 重訓 回家
12/9(一)
微方 打工 午餐(那家叫啥啊= =) 打混(可能寫code之類的) 晚餐(123) 打混(寫code) 回家
12/6(五)
睡過頭(幹，鬧鐘沒叫我= =) 打工(寫數值) 通識 午餐(姐妹、寫數值) 數值 電腦教室刷機(幹，刷壞，糙) 晚餐(123) 計中刷機
12/5(四)
重訓 微方 中日 午餐(蛋包飯) 研究數學 旁聽程設 打工(研究數學+數值) 晚餐(滷味) 數值作業 打球 回家
12/4(三)
整個早上寫線代作業 午餐(123) 線代 動態幾何放假超爽的(研究數學) 晚餐(123) 研究數學 讀日文 回家
12/3(二)
讀微方 體育 午餐(二招) 數值 線代 讀微方 晚餐(123) 微方期中(幹你娘) 崩潰 怒重訓一發 回家
12/2(一)
7:40起床，差點睡過頭 微方 打工(微方) 午餐(地獄炒飯) 研究微方 晚餐(保如) 研究微方 回家
12/1(日)
我忘了我在衝殺小了= =
2013年12月3日 星期二
2013年12月2日 星期一
Cauchy-Euler operator的n次方之係數
Definition: A Cauchy-Euler operator is a differential operator of the form\[
p(x)\frac{d}{dx},
\]
where $p(x)$ is a polynomial.
Proposition: Let\[\left(x\frac{d}{dx}\right)^m=a_{m,1}x\frac{d}{dx}+a_{m,2}x^2\frac{d^2}{dx^2}+\cdots+a_{m,m-1}x^{m-1}\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}+a_{m,m}x^m\frac{d^m}{dx^m},~m=1,\ldots,n\]
Then we have the recurrence relation:
\begin{cases}
a_{m,1}=1,~a_{m,m}=1, & m=1,\ldots,n\\
a_{m,k}=ka_{m-1,k}+a_{m-1,k-1}, & k=2,\ldots,m-1
\end{cases}
p(x)\frac{d}{dx},
\]
where $p(x)$ is a polynomial.
Proposition: Let\[\left(x\frac{d}{dx}\right)^m=a_{m,1}x\frac{d}{dx}+a_{m,2}x^2\frac{d^2}{dx^2}+\cdots+a_{m,m-1}x^{m-1}\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}+a_{m,m}x^m\frac{d^m}{dx^m},~m=1,\ldots,n\]
Then we have the recurrence relation:
\begin{cases}
a_{m,1}=1,~a_{m,m}=1, & m=1,\ldots,n\\
a_{m,k}=ka_{m-1,k}+a_{m-1,k-1}, & k=2,\ldots,m-1
\end{cases}
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