不動點定理

定理：設函數$f$是從$[0,1]$映到$[0,1]$，且$f\in C[0,1]$，則必存在一個$c\in [0,1]$使得 $$f(c)=c$$
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證明：令$g(x)=f(x)-x$，則 $$\begin{align}g(0)&=f(0)\\ g(1)&=f(1)-1\end{align}$$
採用反證法，假設$g(0)g(1)>0$，則表示$f(0)f(1)>f(0)$，由於$0<f(0)\leq 1$，所以左右消去$f(0)$，得 $$f(1)>1$$
顯然與命題不符，矛盾，得 $$g(0)g(1)\leq 0$$
若$g(0)g(1)=0$，則表示$g(0)=0$或$g(1)=0$，也就是 $$f(0)=0\text{ or }f(1)-1=0$$
命題成立
若$g(0)g(1)<0$，則根據中間值定理，存在$c\in [0,1]$使得$g(c)=0$，也就是 $$f(c)-c=0$$
證畢