用矩陣旋轉圓錐曲線

以下是對於原點旋轉
令 $$A=\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}, M=\begin{bmatrix}a&\frac{b}2&\frac{d}2\\\frac{b}2&c&\frac{e}2\\\frac{d}2&\frac{e}2&f\end{bmatrix}$$ 圓錐曲線的一般式是 $$\Gamma:ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ 可改寫成 $$\Gamma:A^TMA=0$$ 令逆時針旋轉$\theta$角的旋轉矩陣為 $$R_{\theta}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}&0\\\sin{\theta}&\cos{\theta}&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ 則旋轉過$\theta$角之後的圓錐曲線為 $$\Gamma':A^TR_{\theta}^TMR_{\theta}A=0$$
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以上我還沒證明，不過我的想法是
一般二維的坐標旋轉可以寫成這樣 $$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\\sin{\theta}&\cos{\theta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$ 改寫成齊次坐標的形式就變成這樣 $$\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}&0\\\sin{\theta}&\cos{\theta}&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$$ 兩邊轉置得 $$\begin{bmatrix}x'&y'&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos{\theta}&\sin{\theta}&0\\-\sin{\theta}&\cos{\theta}&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$ 把原本的$A^TMA$的$A^T$和$A$都套一下旋轉矩陣就行了